Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（x﹣1）﹣kx+k+1．
（1）當(dāng)k=1時，證明：f（x）≤0；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）證明： + +…+ ＜ （n∈N* ， 且n≥2）．

Answer 1

【答案】
（1）證明： k=1時，f（x）=ln（x﹣1）﹣x+2，定義域為（1，+∞），

f'（x）= =

由f'（x）＞0，得0＜x＜2；f'（x）＜0，得x＞2．

故f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減

∴f（x）max=f（2）=0

∴f（x）≤0；

（2）解：f'（x）=

∵x＞1，∴

①當(dāng)k≤0是，f'（x）＞0恒成立，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；

②當(dāng)k＞0時，f'（x）=

由f'（x）＞0，得1＜x＜1+ ；f'（x）＜0，得x＞1+ ．

故f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，1+ ），單調(diào)減區(qū)間為（1+ ，+∞）；

（3）證明：由（1）可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，x＞1，

令x﹣1=t，則lnt≤t﹣1，t＞0，

取t=n2，則lnn2≤n2﹣1，即lnn ，

故 ，n∈N*，n≥2

∴ …+ …+ = ，

即 …+ ．

【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，可知f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減，故f（x）max=f（2）=0，從而結(jié)論成立；（2）f'（x）= ，對k進(jìn)行分類討論，即可求出單調(diào)區(qū)間；（3）由（1）可知，ln（x﹣1）≤x﹣2，令x﹣1=t，則lnt≤t﹣1，再用賦值法，取t=n2 ， 則lnn2≤n2﹣1，即lnn ，由此即可證明結(jié)論成立．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．