Question

已知是函數(shù)的一個極值點，其中，

（1）求與的關(guān)系式；        

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

 (1) ；（2）當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）

【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，x=1時，導(dǎo)數(shù)為0 ，,即；

（2）由，求的單調(diào)區(qū)間時，減少變量，解析式是，分類討論導(dǎo)數(shù)為正、負(fù)時的x范圍；

函數(shù)的圖象上任意一點的切線斜率恒大于即從而，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)定區(qū)間動軸問題。

解：(1)因為是函數(shù)的一個極值點,

所以,即，所以

（2）由（1）知，=

當(dāng)時，有，當(dāng)變化時，與的變化如下表：

				1
		0		0
	調(diào)調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

故有上表知，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（3）由已知得，即

又所以即①

設(shè)，其函數(shù)開口向上，由題意知①式恒成立，

所以解之得

又

所以

即的取值范圍為