Question

我們常用構造等式對同一個量算兩次的方法來證明組合恒等式，如由等式（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ可得，左邊xⁿ的系數為

C

n 2n

，而右邊(1+x)n(1+x)n=(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)(

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn)，xⁿ的系數為

C

0 n

C

n n

+

C

1 n

C

n-1 n

+

C

2 n

C

n-2 n

+…+

C

n n

C

0 n

=(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2，由（1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ恒成立，可得(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+(

C

2 n

)2+…+(

C

n n

)2=

C

n 2n

．
利用上述方法，化簡(

C

0 2n

)2-(

C

1 2n

)2+(

C

2 2n

)2-(

C

3 2n

)2+…+(

C

2n 2n

)2=

(-1)n

C

n 2n

．

Answer 1

分析：根據題意，構造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，分別從等式的左邊和等式的右邊求得x²ⁿ的系數，令其相等，即可求得原式的值．

解答：解：根據題意，構造等式（x-1）²ⁿ•（x+1）²ⁿ=（x²-1）²ⁿ，
由等式的左邊可得x²ⁿ的系數為C_2n²ⁿ•（-1）²ⁿC_2n⁰+C_2n^2n-1•（-1）^2n-1C_2n¹+C_2n^2n-2•（-1）^2n-2C_2n²+…+C_2n⁰•（-1）⁰C_2n²ⁿ，
即（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²，
由右等式的右端可得 x²ⁿ的系數為（-1）ⁿC_2nⁿ，
故有（C_2n⁰）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ，
故答案為（-1）ⁿC_2nⁿ．

點評：本題考查組合數公式的應用，涉及二項式定理的應用，關鍵要根據題意，充分利用組合數的性質，屬于中檔題．