Question

高中2010級(jí)某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組共有男生4人，女生3人．
（1）7個(gè)人站成一排，甲、乙兩人中間恰好有2人的站法有多少種？
（2）排隊(duì)合影，男生甲不站兩邊，女生乙、丙必須相鄰的排法總數(shù)為多少？
（3）7人站成一排，甲與乙相鄰且丙與丁不相鄰，有多少種排法？
（4）現(xiàn)有6本不同的數(shù)學(xué)書，平均分發(fā)給三名女生，有多少種分法？
（5）今有10個(gè)乒乓球（完全相同）分發(fā)給這7名同學(xué)，每人至少一個(gè)，問有多少種不同的分發(fā)？
（6）4名男生互贈(zèng)不同的紀(jì)念品（自己不拿自己的），有多少種不贈(zèng)送方式？

Answer 1

解：（1）甲、乙中間兩人的排列數(shù)為A₅²，
而甲、乙位置可以互換，故這四個(gè)人的排列數(shù)有A₅²A₂²．
將這四人看成一個(gè)整體，與剩余3人排站，故有A₄⁴種排列方式．
∴不同站法有A₅²A₂²A₄⁴=960種．（2分）
（2）男生甲的站法數(shù)有C₅¹種，對(duì)每一種，
女生乙、丙相鄰的站法（不計(jì)順序）均為4種，
所以不同站法數(shù)為C₅¹C₄¹A₂²A₄⁴=960．（2分）
（3）若甲、乙相鄰，則將甲、乙看成一個(gè)整體，
則總共的排法數(shù)為A₂²A₆⁶=1440（相當(dāng)于只剩下6個(gè)人的全排列，而甲、乙可互換）．
考慮其中丙、丁再相鄰的情況，同上述方法可知有A₂²A₂²A₅⁵=480種，
∴符合要求的排法有1440-480=960．（2分）
（4）將6本書平均分為三堆，則必有一堆含有A（A、B、C、D、E、F為這六本書），
故只需再選一本與之搭檔，選擇以后必有一堆含有B或C或D或E或F，
只需再選一本與之塔檔，故分法數(shù)為C₅¹C₃¹=15種．
再將其分給三個(gè)女生，共有15×A₃³=90種．（2分）
（5）問題可轉(zhuǎn)化為將10個(gè)乒乓球排成一列，再分成7堆，每堆至少一個(gè)，求其方法數(shù)．
事實(shí)上，只需在上述10個(gè)乒乓球所產(chǎn)生的9個(gè)“空檔”中選出6個(gè)“空檔”插入檔板，
即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．故有C₉⁶=84種．（2分）
（6）第一個(gè)人有C₃¹種贈(zèng)法，而被贈(zèng)的人除自己外仍有3種贈(zèng)，
這樣剩下的兩人僅有一種贈(zèng)法符合要求，故有3C₃¹=9種．（2分）
分析：（1）從5個(gè)人中選兩個(gè)排在甲和乙之間，甲、乙位置可以互換，故這四個(gè)人的排列數(shù)有A₅²A₂²．將這四人看成一個(gè)整體，與剩余3人共4個(gè)元素排列，故有A₄⁴種排列方式，相乘得到結(jié)果．
（2）男生甲的站法數(shù)有C₅¹種，對(duì)每一種，女生乙、丙相鄰的站法均為4種，相乘的結(jié)果．
（3）若甲乙相鄰，則將甲、乙看成一個(gè)整體，相當(dāng)于只剩下6個(gè)人的全排列，而甲、乙可互換．考慮其中丙、丁再相鄰的情況，相減得到結(jié)果．
（4）將6本書平均分為三堆，則必有一堆含有A，故只需再選一本與之搭檔，選擇以后必有一堆含有B或C或D或E或F，
只需再選一本與之塔檔，再將其分給三個(gè)女生，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（5）本題要使用擋板法，在10個(gè)乒乓球所產(chǎn)生的9個(gè)“空檔”中選出6個(gè)“空檔”插入檔板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．
（6）第一個(gè)人有C₃¹種贈(zèng)法，而被贈(zèng)的人除自己外仍有3種贈(zèng)，這樣剩下的兩人僅有一種贈(zèng)法符合要求，故有3C₃¹種．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，本題是一個(gè)包含的情況比較多的問題，用到我們解決排列組合問題的各種方法，本題解題的關(guān)鍵是由實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題是一個(gè)中檔題目．