Question

（本題14分）在如圖所示的幾何體中，平面，平面，，且，是的中點(diǎn)．

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）直線與平面所成的角是．

【解析】方法一：

（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107272343651706_DA.files/image005.png">，是的中點(diǎn)，

所以．

又平面，

所以．

（II）解：過(guò)點(diǎn)作平面，垂足是，連結(jié)交延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)，．

是直線和平面所成的角．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107272343651706_DA.files/image011.png">平面，

所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107272343651706_DA.files/image021.png">平面，

所以，

則平面，因此．

設(shè)，，

在直角梯形中，

，是的中點(diǎn)，

所以，，，

得是直角三角形，其中，

所以．

在中，，

所以，

故與平面所成的角是．

方法二：

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，分別為軸和軸，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，．，．

（I）證明：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107272343651706_DA.files/image052.png">，，

所以，

故．

（II）解：設(shè)向量與平面垂直，則，，

即，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051811062871874359/SYS201205181107272343651706_DA.files/image062.png">，，

所以，，

即，

，

直線與平面所成的角是與夾角的余角，

所以，

因此直線與平面所成的角是．