Question

如圖甲，四邊形ABCD中，E是BC的中點，DB=2，DC=1，BC=

5

，AB=AD=

2

．將（圖甲）沿直線BD折起，使二面角A-BD-C為60°（如圖乙）．
（Ⅰ）求證：AE⊥平面BDC；
（Ⅱ）求點B到平面ACD的距離．

Answer 1

分析：（1）取BD中點M，連接AM，ME．先證明AM⊥BD，再證明BD⊥平面AEM，可得BD⊥AE，證明AE⊥ME，即可證明AE⊥平面BDC；
（2）建立空間直角坐標系，求得平面ACD的法向量，利用向量的距離公式，即可求得結論．

解答：（Ⅰ）證明：如圖，取BD中點M，連接AM，ME．

∵AB=AD=

2

，∴AM⊥BD，
∵DB=2，DC=1，BC=

5

，∴DB²+DC²=BC²，∴△BCD是以BC為斜邊的直角三角形，BD⊥DC，
∵E是BC的中點，∴ME為△BCD的中位線，∴ME∥

1

2

CD，
∴ME⊥BD，ME=

1

2

，…（2分）
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，∴∠AME=60°．
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME內(nèi)兩條相交于點M的直線，∴BD⊥平面AEM，
∵AE?平面AEM，∴BD⊥AE．…（4分）
∵AB=AD=

2

，DB=2，∴△ABD為等腰直角三角形，∴AM=

1

2

BD=1，
在△AME中，由余弦定理得：AE2=AM2+ME2-2AM•ME•cos∠AME ，  ∴AE=

3

2

，
∴AE²+ME²=1=AM²，∴AE⊥ME，
∵BD∩ME=M，BD?平面BDC，ME?平面BDC，∴AE⊥平面BDC．…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，以M為原點，MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，平行于EA的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則由（Ⅰ）及已知條件可知B（1，0，0），E(0 ，  

1

2

 ，  0)，A(0 ，  

1

2

 ，  

3

2

)，D（-1，0，0），C（-1，1，0）
，…（7分）

則

AB

=(1 ，  -

1

2

 ，  -

3

2

) ，  

CD

=(0 ，  -1 ，  0)，

AD

=(-1 ，  -

1

2

 ，  -

3

2

)，
設平面ACD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • AD =0 ，   n • CD =0

∴

-x- 1 2 y- 3 2 z=0 ，   -y=0 ，

令x=

3

，則z=-2，∴

n

=(

3

 ，  0 ，  -2)，…（10分）
記點B到平面ACD的距離為d，則d=|

AB • n

| n |

|=|

3 +0+ 3

( 3 )2+0+(-2)2

|=

2 21

7

．…（12分）

點評：本題考查直線和平面垂直的證明，考查求點到平面的距離，考查向量知識的運用，屬于中檔題．