Question

已知函數f（x）=4cos²

ωx

2

+2sinωx-2+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側的第一個最高的橫坐標為2．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[8，16]上的最大值為3，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用輔助角公式可化簡f（x）=2

2

sin（ωx+

π

4

）+a，依題意，2ω+

π

4

=

π

2

，從而可求ω的值；
（Ⅱ）由（I）知，f（x）=2

2

sin（

π

8

x+

π

4

）+a，x∈[8，16]⇒

π

8

x+

π

4

∈[

5π

4

，

9π

4

]，利用正弦函數的性質，結合題意（f（x）在區(qū)間[8，16]上的最大值為3）即可求得a的值．

解答：解：（I）f（x）=2cosωx+2sinωx+a=2

2

sin（ωx+

π

4

）+a．…（3分）
由題意知，2ω+

π

4

=

π

2

，得ω=

π

8

．…（5分）
（Ⅱ）f（x）=2

2

sin（

π

8

x+

π

4

）+a，
∵x∈[8，16]
∴

π

8

x+

π

4

∈[

5π

4

，

9π

4

]．…（8分）
由圖象可知，當

π

8

x+

π

4

=

9π

4

，即x=16時，f（x）最大，
由2

2

sin

9π

4

+a=3得：a=1．…（12分）

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數的單調性，考查推理與運算能力，屬于中檔題．