已知某橢圓的焦點(diǎn)是F1（－4，0）、F2（4，0），過點(diǎn)F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為B，且|F1B|＋|F2B|＝10．橢圓上不同的兩點(diǎn)A（x1，y1）、C（x2，y2）滿足條件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差數(shù)列．

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍．

答案：
解析：

（Ⅰ）解：由橢圓定義及條件知

2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5，又c=4

所以b==3.

故橢圓方程為=1.

（Ⅱ）由點(diǎn)B（4，yB）在橢圓上，得    

|F2B|=|yB|=.（如圖）

因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為x=，離心率為

根據(jù)橢圓定義，有|F2A|=（－x1），|F2C|=（－x2）

由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差數(shù)列，得

（－x1）+（－x2）=2×

由此得出x1+x2=8.

設(shè)弦AC的中點(diǎn)為P（x0，y0）

則x0==4.

（Ⅲ）由A（x1，y1），C（x2，y2）在橢圓上，得

　　
　　 　　

④⑤

　　 　　
 

由④－⑤得

9（x12－x22）+25（y12－y22）=0.

即=0（x1≠x2）

將（k≠0）代入上式，得

9×4+25y0（－）=0（k≠0）.

由上式得k=y0（當(dāng)k=0時(shí)也成立）.

由點(diǎn)P（4，y0）在弦AC的垂直平分線上，得y0=4k+m.

所以m=y0－4k=y0－y0=－y0.

由P（4，y0）在線段BB′（B′與B關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖）的內(nèi)部，得－＜y0＜.

所以－＜m＜.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（）（本小題滿分12分）已知橢圓C: 的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)l的斜率為1是，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為.

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？

若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，橢圓的方程為(a＞0),其右焦點(diǎn)為F，把橢圓的長軸分成6等份，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓上半部于點(diǎn)P1、P2、P3、P4、P5五個(gè)點(diǎn)，且|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|=.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)直線l過F點(diǎn)(l不垂直坐標(biāo)軸)，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M(m,0)，試求m的取值范圍.

(文)某廠家擬在2006年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=3(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2006年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用).

(1)將2006年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；

(2)該廠家2006年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案