Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足：當(dāng)x＞0時，f（x）=2010^x+log₂₀₁₀x，則在R上方程f（x）=0的實根個數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0，當(dāng)x＞0時，函數(shù)f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象有一個交點，知2010^x+log₂₀₁₀x=0有唯一實數(shù)根，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x＜0時，也有唯一一個根使得f（x）=0，從而得到結(jié)論．
解答：當(dāng)x＞0時，令f（x）=0得，即2010^x=-log₂₀₁₀x，
在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)f₁（x）=2010^x，f₂（x）=-log₂₀₁₀x的圖象，
如右圖，可知兩個圖象只有一個交點，即方程f（x）=0只有一個實根，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時，方程f（x）=0也有一個實根，
又∵f（0）=0，
∴方程f（x）=0的實根的個數(shù)為3．
故選C．
點評：本題本題主要考查了奇函數(shù)圖象的性質(zhì)應(yīng)用，即根據(jù)題意畫出一部分函數(shù)的圖象，由交點的個數(shù)求出對應(yīng)方程根的個數(shù)，利用圖象的對稱性和“f（0）=0”求出方程根的個數(shù)，易漏f（0）=0，屬于中檔題．