【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，證明: 對于任意的成立.

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)， 在單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）證明見解析.

【解析】試題分析： 對函數(shù)求導(dǎo)，對分類討論函數(shù)的單調(diào)性；

構(gòu)造函數(shù)，對構(gòu)造函數(shù)的兩部分， 分別求導(dǎo)討論單調(diào)性及取值范圍，則，得證。

解析：（Ⅰ）的定義域為；.

當(dāng)， 時，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時，.

（1），，

當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減；

（2）時，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增；

（3）時，，

當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，單調(diào)遞減.

綜上所述，

當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；

當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在 內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；

當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，

，，

令，.

則，

由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.

又，

設(shè)，則在單調(diào)遞減，因為，

所以在上存在使得 時，時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，

所以，

即對于任意的恒成立

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