Question

（2013•鹽城三模）已知函數(shù)f（x）=

1

2

m（x-1）²-2x+3+lnx，m∈R．
（1）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)m＞0時(shí)，若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與曲線y=f（x）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先求切線方程為y=-x+2，再由切線L與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，從而可求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)f（x）=-2x+3+lnx
由題意知x＞0，f′（x）=-2+

1

x

=

-2x+1

x

，令f′（x）＞0，得0＜x＜

1

2

時(shí)，
所以f（x）的增區(qū)間為（0，

1

2

）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+

1

x

，得f′（1）=-1，
知曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l的方程為y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
設(shè)g（x）=

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx，（x＞0）．
則g′（x）=

mx2-(m+1)x+1

x

=

(x-1)(mx-1)

x

，
①當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）=

(x-1)(x-1)

x

≥0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（1）=0，故m=1符合題設(shè)；
②當(dāng)m＞1時(shí)，由g′（x）＞0得0＜x＜

1

m

或x＞1，
由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＜0得

1

m

＜x＜1，
故g（x）在區(qū)間（0，

1

m

），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（ 1，

1

m

）區(qū)間單調(diào)遞減，
又g（1）=0，且當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞，此時(shí)曲線y=g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故m＞1不合題意；
③當(dāng)0＜m＜1時(shí)，由g′（x）=

(x-1)(mx-1)

x

＞0得0＜x＜1或x＞

1

m

，
由g′（x）＜0得1＜x＜

1

m

，
故g（x）在區(qū)間（0，1），（

1

m

，+∞）上單調(diào)遞增，在（1，

1

m

）區(qū)間單調(diào)遞減，
又g（1）=0，且當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→+∞，此時(shí)曲線y=g（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故0＜m＜1不合題意；
∴由上述知：m=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．