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 (12分)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點,平面ABC

（Ⅰ）求證：AB1⊥平面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的余弦值；

（Ⅲ）求點C到平面A1BD的距離.

 

【答案】

（1）見解析（2）二面角的余弦值為．（3）．

【解析】

試題分析：(1)證明線面垂直，根據其判定定理，只須證明AB1垂直這個面內的兩條相交直線即可，本小題顯然應證：.

(2)利用空間向量法求二面角，先求出二面角兩個面的法向量，然后再利用求解即可.

(3)利用空間向量法點C到平面的距離根據來解即可.

（1）取中點，連結．  為正三角形，．

在正三棱柱中，   平面平面，平面．

取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．

，，

，．  平面．

（2）設平面的法向量為．

，．，，

令得

由（1）知平面，為平面的法向量．

    二面角的余弦值為．

（3）由（2），為平面法向量，   ．

    點到平面的距離．

考點：空間向量法證明線面垂直，求二面角，點到直線的距離，線面垂直的判定定理.

點評：掌握線線、線面、面面的平行與垂直判斷與性質是解決此類問題的前提.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年湖北省高三下學期第二次適應性考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分12分）如圖,在三棱柱中,側面底面,,,且為中點.

(I)證明:平面;

(II)求直線與平面所成角的正弦值;

(III)在上是否存在一點,使得平面,若不存在,說明理由;若存在,確定點的位置.

 

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科目：高中數學 來源：2011年山東省高一入學檢測數學試卷 題型：解答題

（（本小題12分）

如圖, 在三棱柱中, 底面，, ,, 點D是的中點.

(1) 求證;

(2) 求證平面

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年河南省商丘市高三第二次模擬考試數學理卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是，D是AC的中點．

   （Ⅰ）求證：B1C∥平面A1BD；                                      

   （Ⅱ）求二面角A1－BD－A的大��；

   （Ⅲ）求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值．

 

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科目：高中數學 來源：2010河北省高三押題考試數學卷 題型：解答題

（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1面ABC，BCAC，BC=AC=2，D為AC的中點。

   （1）求證：AB1//面BDC1；

   （2）若AA1=3，求二面角C1—BD—C的余弦值；

   （3）若在線段AB1上存在點P，使得CP面BDC1，試求AA1的長及點P的位置。

    

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011年山東省高一第一次階段檢測數學試卷 題型：解答題

（本小題12分）

如圖，三棱柱ABC－A1B1C1的側棱與底面垂直，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點D是AB的中點.

（1）求證：AC⊥B1C；

（2）求證：AC 1∥平面CDB1.

 

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