直線
x
4
+
y
3
=1
與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
相交于A,B兩點(diǎn),該橢圓上點(diǎn)P使△PAB的面積等于6,這樣的點(diǎn)P有( 。
分析:聯(lián)解直線與橢圓方程,得A(4,0)、B(0,3),得|AB|=5,結(jié)合△PAB的面積等于6算出P到AB的距離為d為
12
5
.然后求出與已知直線平行,且與橢圓相切的直線l1與l2,算出兩條直線一條與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)而另一條與橢圓無交點(diǎn),由此即可得到使△PAB的面積等于6的點(diǎn)P有2個(gè).
解答:解:聯(lián)解直線
x
4
+
y
3
=1
與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
,得
x=4
y=0
x=0
y=3

∴直線與橢圓的交點(diǎn)為A(4,0)和B(0,3),得|AB|=
42+32
=5
設(shè)點(diǎn)P到AB的距離為d,則S△PAB=
1
2
×|AB|×d=6
1
2
×5×d=6,解之得d=
12
5

再設(shè)平行于直線
x
4
+
y
3
=1
與橢圓相切的直線為3x+4y+m=0
與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
聯(lián)解,可得m=±12
2

由此可得兩條平行于直線
x
4
+
y
3
=1
的切線分別為
l1:3x+4y+12
2
=0和l2:3x+4y-12
2
=0
∵l1與直線
x
4
+
y
3
=1
的距離d1=
|12
2
-12|
32+42
=
12
5
2
-1
)<
12
5

l2直線
x
4
+
y
3
=1
的距離d2=
|12
2
+12|
32+42
=
12
5
2
+1
)>
12
5

∴l(xiāng)1與l2中,l1與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
相交,有兩個(gè)交點(diǎn),
而l2橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
相離,沒有交點(diǎn).因此有兩個(gè)P點(diǎn)使△PAB的面積等于6
故選:B
點(diǎn)評(píng):本題給出直線與橢圓相交于A、B,求橢圓上點(diǎn)P,滿足使△PAB的面積等于6的點(diǎn)的個(gè)數(shù).著重考查了橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí),屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線
x
4
+
y
3
=1
與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
相交于A、B兩點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)P使△PAB的面積等于12,這樣的點(diǎn)P共有( 。﹤(gè).
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

直線L:
x
4
+
y
3
=1與橢圓E:
x2
16
+
y2
9
=1相交于A,B兩點(diǎn),該橢圓上存在點(diǎn)P,使得△PAB的面積等于3,則這樣的點(diǎn)P共有( 。
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

直線
x
4
+
y
3
=1
與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
相交于A、B兩點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)P使△PAB的面積等于12,這樣的點(diǎn)P共有( 。﹤(gè).
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

直線
x
4
+
y
3
=1
與橢圓
x2
16
+
y2
9
=1
相交于A,B兩點(diǎn),該橢圓上點(diǎn)P,使得△PAB面積等于3,這樣的點(diǎn)P共有( 。
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案