Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6．D、E分別是AC、AB上的點，且DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如圖2．
（1）求證：BC∥平面A₁DE；
（2）求證：BC⊥平面A₁DC；
（3）當D點在何處時，A₁B的長度最小，并求出最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)線線平行⇒線面平行證明（1）；根據(jù)線面垂直?線線垂直可證（2）；
設(shè)AD=x或設(shè)DC=x，利用垂直關(guān)系判定△，△A₁CB，△A₁DC的形狀，構(gòu)造以A₁B為變量，x為自變量的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可．

解答：解：（本小題共14分）                                                        
（1）證明：∵DE∥BC，DE?面A₁DE，BC?面A₁DE
∴BC∥面A₁DE…（4分）
（2）證明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，
∴AD⊥DE∴A₁D⊥DE．
又A₁D⊥CD，CD∩DE=D，∴A₁D⊥面BCDE．
由BC?面BCDE，
∴A₁D⊥BC．BC⊥CD，A₁D∩CD=D，
∴BC⊥面A₁DC．…（9分）
（3）設(shè)DC=x則A₁D=6-x由（Ⅱ）知，△A₁CB，△A₁DC均為直角三角形．
A1B=

A1C2+BC2

=

A1D2+DC2+BC2

，即A1B=

x2+32+(6-x)2

=

2x2-12x+45

=

2(x-3)2+27

…（12分）
當x=3時，A₁B的最小值是3

3

．
即當D為AC中點時，A₁B的長度最小，最小值為3

3

．…（14分）

點評：本題考查線面平行、垂直的判定與空間中點、點距離的最值問題．設(shè)出變量，構(gòu)造函數(shù)利用求函數(shù)最值的方法求解，是此類題的常用方法．