Question

已知圓C：x²+y²+ax-4y+1=0（a∈R），過定點P（0，1）作斜率為1的直線交圓C于A、B兩點，P為線段AB的中點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）設(shè)E為圓C上異于A、B的一點，求△ABE面積的最大值；
（Ⅲ）從圓外一點M向圓C引一條切線，切點為N，且有|MN|=|MP|，求|MN|的最小值，并求|MN|取最小值時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圓心與弦的中點的連線和弦垂直得 CP⊥AB，根據(jù)斜率之積等于-1求出a的值．
（Ⅱ）先求出圓心坐標(biāo)和半徑，求出圓心到直線AB的距離以及弦長AB，當(dāng)EC⊥AB時，△ABE面積最大．
（Ⅲ）由|MN|²=|MC|²-4，得到|MP|²=|MC|²-4，設(shè)M（x，y），代入此等式化簡得x-y=0，
|MN|的最小值即為|MP|的最小值（P到x-y=0的距離）：d2=|

0-1

2

|=

2

2

，解

x-y=0 x2+(y-1)2=( 2 2 )2

，
得M點坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）由題知圓心C（-

a

2

，2），又P（0，1）為線段AB的中點，∴CP⊥AB，
∴k_PC=-1，即

1-2

0-(- a 2 )

=-1，∴a=2（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知圓C的方程為（x+1）²+（y-2）²=4，∴圓心C（-1，2），半徑R=2，
又直線AB的方程是x-y+1=0
∴圓心C到AB的距離d1=|

-1-2+1

2

|=

2

，|AB|=2

4-2

=2

2

，
當(dāng)EC⊥AB時，△ABE面積最大，Smax=

1

2

•2

2

•(2+

2

)=2+2

2

．（8分）
（Ⅲ）∵切線MN⊥CN，∴|MN|²=|MC|²-4，又|MN|=|MP|，∴|MP|²=|MC|²-4，
設(shè)M（x，y），則有x²+（y-1）²=（x+1）²+（y-2）²-4，化簡得：x-y=0，
即點M在x-y=0上，∴|MN|的最小值即為|MP|的最小值（P到x-y=0的距離）：d2=|

0-1

2

|=

2

2

，
解方程組：

x-y=0 x2+(y-1)2=( 2 2 )2

，得：

x= 1 2 y= 1 2

，
∴滿足條件的M點坐標(biāo)為(

1

2

，

1

2

)（12分）

點評：本題考查圓的切線性質(zhì)，兩直線垂直的性質(zhì)，點到直線的距離公式應(yīng)用，以及求兩直線的交點坐標(biāo)的方法．