【題目】已知長方體中， 為的中點， 在棱上， ， .

（1）若異面直線與互相垂直，求的長；

（2）當四棱錐的體積為時，求證：直線平面.

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：如圖，以為原點，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.得到相應點和相應向量的坐標，利用空間向量的夾角公式可得的長

（2）證明：因為是長方體， 在棱上，所以平面，

所以四棱錐的體積，解得.

此時為的中點，所以. 利用空間向量的知識可證得直線平面..

試題解析：（1）如圖，以為原點，分別以所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.

則， ， ， ， ， ， .

設，則， ，

因為，所以，即，解得.

所以，當異面直線與互相垂直時， .

（2）證明：因為是長方體， 在棱上，所以平面，

所以四棱錐的體積 ，解得.

此時為的中點，所以.

由（1）可知， ， .

設平面的法向量為，則，即，

令，得， ，所以，

因為，

所以，因為直線平面，

所以直線平面.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】已知三棱錐如圖所示，其中， ，二面角的大小為.

（1）證明： ；

（2）若為線段的中點，且， ，求二面角的余弦值.

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【題目】已知函數(shù)

（1）當時，求證在上是單調遞減函數(shù)；

（2）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點個數(shù).

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【題目】已知橢圓的左焦點為,過點做軸的垂線交橢圓于兩點,且.

(1)求橢圓的標準方程;

(2)若為橢圓短軸的上頂點，直線不經過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率的和為，問：直線是否過定點？若是，求出這個定點，否則說明理由.

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【題目】如圖，橢圓： 的焦距與橢圓： 的短軸長相等，且與的長軸長相等，這兩個橢圓在第一象限的交點為，直線經過在軸正半軸上的頂點且與直線（為坐標原點）垂直， 與的另一個交點為， 與交于， 兩點.

（1）求的標準方程；

（2）求.

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【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.

(1)若a＝2，試求函數(shù)y＝(x>0)的最小值；

(2)對于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的上頂點為，直線與該橢圓交于兩點，且點恰為的垂心，則直線的方程為______ .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】假設關于某設備的使用年限（年）和所支出的維修費用（萬元）有如下統(tǒng)計資料：

/年

2

3

4

5

6

/萬元

若由資料知， 對呈線性相關關系，試求：

（1）回歸直線方程；

（2）估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？

參考公式：回歸直線方程： .其中

（注： )

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】右圖是一個幾何體的平面展開圖，其中ABCD為

正方形， E、F分別為PA、PD的中點，在此幾何體中，

給出下面四個結論：

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；

③直線EF//平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD.

其中正確結論的個數(shù)是

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

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