已知函數(shù)f（x）=
3
sin
x
4
•cos
x
4
-sin2
x
4
+1．
（1）若f（x）=1，求cos(
2π
3
-x)的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足acosC+
1
2
c=b，求f（B）的取值范圍．
分析：由題意得f（x）=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos 2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
．
（1）若f（x）=1，可得sin（
x
2
+
π
6
)=
1
2
=
1
2
，利用cos(
2π
3
-x)=2sin 2(
x
2
+
π
6
)-1，即可得到結(jié)論；
（2）由acosC+
1
2
c=b，得b2+c2-a2=bc，利用余弦定理可求A的值，進(jìn)而可得0＜B＜
2π
3
，0＜
B
2
＜
π
3
，從而可求f（B）的取值范圍．
解答：解：由題意得f（x）=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos 2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
．
（1）若f（x）=1，得sin（
x
2
+
π
6
)=
1
2
=
1
2
，∴cos(
2π
3
-x)=2sin 2(
x
2
+
π
6
)-1=-
1
2
．
（2）由acosC+
1
2
c=b，得b2+c2-a2=bc，∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
．
∴A=
π
3

∴B+C=
2π
3

∴0＜B＜
2π
3
，0＜
B
2
＜
π
3

∴
π
6
＜
B
2
+
π
6
＜
π
2

∴
1
2
＜sin(
B
2
+
π
6
)＜1
∴f（B）=sin(
B
2
+
π
6
)+
1
2
∈(1，
3
2
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查余弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3•2x-1，則當(dāng)x∈N時(shí)，數(shù)列{f（n+1）-f（n）}（　　）
A、是等比數(shù)列B、是等差數(shù)列C、從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列D、是常數(shù)列

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3-x
+
1
x+2
的定義域?yàn)榧螦，B={x丨m＜x-m＜9}．
（1）若m=0，求A∩B，A∪B；
（2）若A∩B=B，求所有滿足條件的m的集合．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3-x
+
1
x+2
的定義域?yàn)榧螦，B={x|x＜a}．
（1）若A⊆B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若全集U={x|x≤4}，a=-1，求?UA及A∩（?UB）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3-ax
a-1
（a≠1）在區(qū)間（0，4]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3-2log2x，g（x）=log2x．
（1）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求函數(shù)h（x）=[f（x）+1]•g（x）的值域；
（2）如果對(duì)任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)•f(
x
)＞k•g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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