Question

若函數f（x）對定義域中任意x，均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數y=f（x）的圖象關于點（a，b）對稱；
（1）已知f(x)=

x2-mx+1

x

的圖象關于點（0，1）對稱，求實數m的值；
（2）已知函數g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=-2^x-n（x-1），求函數g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的條件下，若對實數x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，求正實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

x2-mx+1

x

的圖象關于點（0，1）對稱，知f（1）+f（-1）=2，由此能求出m．
（2）當x∈（-∞，0）時，-x∈（0，+∞），故g（-x）=-2^-x-n（-x-1）=2-g（x），由此能求出函數g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式．
（3）由-tf（t）=-（t²+t+1）＜-1，知g（x）≥-1，由y=2^-x與y=-n（x+1）（n＞0）單調遞減，知g（x）=2^-x-n（x+1）+2，在x∈（-∞，0）上單調遞減，由此能求出正實數n的取值范圍．

解答：（本題12分）
解：（1）∵f(x)=

x2-mx+1

x

的圖象關于點（0，1）對稱，
∴f（1）+f（-1）=

1-m+1

1

+

1+m+1

-1

=2，
解得：m=-1．（2分）
（2）∵g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，
且當x∈（0，+∞）時，g（x）=-2^x-n（x-1），
∴x∈（-∞，0），-x∈（0，+∞），
g（-x）=-2^-x-n（-x-1）=2-g（x），
2-g（x）=-2^-x-n（-x-1），
∴g（x）=2^-x-n（x+1）+2，x∈（-∞，0）．（6分）
（3）∵對實數x＜0及t＞0，恒有g（x）+tf（t）＞0，
-tf（t）=-（t²+t+1）＜-1，
∴g（x）≥-1-----（8分）
∵y=2^-x與y=-n（x+1）（n＞0）單調遞減；
∴g（x）=2^-x-n（x+1）+2，在x∈（-∞，0）上單調遞減；（10分）
∴g（0）≥-1，∴2+1-n≥-1，
又∵n＞0，∴0＜n≤4．（12分）

點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查函數解析式的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．