【題目】為了提高產(chǎn)品的年產(chǎn)量,某企業(yè)擬在2013年進(jìn)行技術(shù)改革,經(jīng)調(diào)查測算,產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量x萬件與投入技術(shù)改革費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=3﹣ (k為常數(shù)).如果不搞技術(shù)改革,則該產(chǎn)品當(dāng)年的產(chǎn)量只能是1萬件.已知2013年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元.由于市場行情較好,廠家生產(chǎn)均能銷售出去,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本的1.5倍(生產(chǎn)成本包括固定投入和再投入兩部分資金)
(1)試確定k的值,并將2013年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為技術(shù)改革費(fèi)用m萬元的函數(shù)(利潤=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費(fèi)用);
(2)該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤最大?并求出最大利潤.
【答案】
(1)解:由題意可知,當(dāng)m=0時(shí),x=1(萬件)∴1=3﹣k,∴k=2,∴x=3﹣
∴每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5× (元),
∴2013年的利潤y=x(1.5× )﹣(8+16x)﹣m=28﹣m﹣ (m≥0)
(2)解:∵m≥0,∴y=28﹣m﹣28﹣m﹣ =29﹣[(m+1)+ ]≤ =21
當(dāng)且僅當(dāng)m+1= ,即m=3時(shí),ymax=21.
∴該企業(yè)2013年的技術(shù)改革費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家的利潤最大,最大為21萬元
【解析】(1)首先根據(jù)題意令m=0代入x=3﹣ 求出常量k,這樣就得出了x與m的關(guān)系式,然后根據(jù)2013年固定收入加再投入資金求出總成本為8+16x,再除以2013的件數(shù)就可以得出2013年每件的成本,而每件的銷售價(jià)格是成本的1.5倍,從而得出了每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格,然后用每件的銷售單價(jià)×銷售數(shù)量得到總銷售額.最后利用利潤=銷售金額﹣生產(chǎn)成本﹣技術(shù)改革費(fèi)用得出利潤y的關(guān)系式.(2)根據(jù)基本不等式,求出y的最大值時(shí)m的取值即可.
【考點(diǎn)精析】利用基本不等式對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知基本不等式:,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號);變形公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,﹣π<φ<π)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.
(1)求f(x)的表達(dá)式;
(2)在△ABC中,f(C+ )=﹣1且 <0,求角C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)M(2,0)的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)A,B,當(dāng)時(shí),求直線斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中, 平面,四邊形是菱形, , ,且, 交于點(diǎn), 是上任意一點(diǎn).
(1)求證: ;
(2)已知二面角的余弦值為,若為的中點(diǎn),求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),且與直線相切.
(1)求直線被圓所截得的弦的長;
(2)過點(diǎn)作兩條與圓相切的直線,切點(diǎn)分別為求直線的方程;
(3)若與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點(diǎn),若為鈍角,求直線 在軸上的截距的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 點(diǎn)(n, )在直線y= x+ 上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 并求使不等式Tn> 對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< )其中的圖象如圖所示,為了得到g(x)=cos(2x﹣ )的圖象,只需將f(x)的圖象( )
A.向左平移 個(gè)單位
B.向右平移 個(gè)單位
C.向左平移 個(gè)單位
D.向右平移 個(gè)單位
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