已知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)為y=±
3
x且過(guò)點(diǎn)M（1，
2
）．
（1）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（2）若直線(xiàn)y=ax+1與雙曲線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA與OB垂直，求a的值．
（1）由題意可知：雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1，
則
b
a
=
3
1
a2
-
2
b2
=1
，解得
a2=
1
3
b2=1
，
∴雙曲線(xiàn)C的方程為3x2-y2=1．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立
y=ax+1
3x2-y2=1
，化為（3-a2）x2-2ax-2=0，（3-a2≠0）．
∵直線(xiàn)y=ax+1與雙曲線(xiàn)C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，∴△=4a2+8（3-a2）＞0，化為a2＜6．
∴x1+x2=
2a
3-a2
，x1x2=
-2
3-a2
．（*）
∵
OA
⊥
OB
，∴
OA
•
OB
=0．
∴x1x2+y1y2=0，又y1=ax1+1，y2=ax2+1，
∴（1+a2）x1x2+a（x1+x2）+1=0，
把（*）代入上式得
-2(1+a2)
3-a2
+
2a2
3-a2
+1=0，
化為a2=1．滿(mǎn)足△＞0．
∴a=±1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知為橢圓E的兩個(gè)左右焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)C以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓與拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，如果橢圓離心率e滿(mǎn)足，則e的值為（ ）

M

 
A.             B.          C.          D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，P是拋物線(xiàn)C：x2=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求弦長(zhǎng)|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線(xiàn)l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

直線(xiàn)l：x-y=0與橢圓
x2
2
+y2=1相交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則△ABC面積的最大值為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

設(shè)拋物線(xiàn)y2=2px（p為常數(shù)）的準(zhǔn)線(xiàn)與X軸交于點(diǎn)K，過(guò)K的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，則
OA
•
OB
=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，A、B分別是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下兩頂點(diǎn)，P是雙曲線(xiàn)
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線(xiàn)PA、PB分別交橢圓于C、D點(diǎn)，如果D恰是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：無(wú)論常數(shù)a、b如何，直線(xiàn)CD的斜率恒為定值；
（2）求雙曲線(xiàn)的離心率，使CD通過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過(guò)點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過(guò)⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線(xiàn)PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線(xiàn)PA的直線(xiàn)方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)A是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點(diǎn)，若點(diǎn)C(
3
2
，
3
2
)在橢圓上，且滿(mǎn)足
OC
•
OA
=
3
2
．（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，當(dāng)
OM
+
ON
=m
OC
，m∈(0，2)時(shí)，求△OMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知圓C過(guò)定點(diǎn)F（-
1
4
，0），且與直線(xiàn)x=
1
4
相切，圓心C的軌跡為E，曲線(xiàn)E與直線(xiàn)l：y=k（x+1）（k∈R）相交于A(yíng)、B兩點(diǎn)．
（I）求曲線(xiàn)E的方程；
（II）當(dāng)△OAB的面積等于
10
時(shí)，求k的值；

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