Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）令是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)（e是自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù) 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，證明：

 

Answer 1

【答案】

（1）   （2）存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，g(x)有最小值3.  （3）略

【解析】(I) 函數(shù)在[1，2]上是減函數(shù)轉(zhuǎn)化為在[1，2]上恒成立,即在[1，2]上恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，問(wèn)題得解.

(II)利用導(dǎo)數(shù)研究其極值最值，在具體求解的過(guò)程中，要對(duì)a進(jìn)行討論.

(III) 構(gòu)造函數(shù),結(jié)合第（II）問(wèn)可知,令,只需要滿足即可.再利用導(dǎo)數(shù)研究的最大值.問(wèn)題得解.

解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，

令，有 得                …………3分

所以.                                                  …………4分

（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使有最小值3，

.                                         …………5分

①當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，e]上單調(diào)遞減，

（舍去）.

（2）當(dāng)時(shí)，g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，滿足條件.

（3）當(dāng)時(shí)，g(x)在[0，e]上單調(diào)遞減，（舍去）.

綜上，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，g(x)有最小值3.        …………10分

(Ⅲ)令，由（2）知

，令，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以.

所以,即.