已知方程f（x）=x2+ax+2b的兩個根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，則a2+（b-4）2的取值范圍為________．


分析：根據(jù)方程f（x）=x2+ax+2b的兩個根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，推出a、b的關系，利用線性規(guī)劃，得到ab的可行域，a2+（b-4）2的含義是可行域內(nèi)的點到（0，4）點距離的平方，求其范圍即可．
解答：拋物線f（x）=x2+ax+2b開口向上
兩個根分別在（0，1），（1，2）內(nèi)，所以，
f（0）＞0，f（1）＜0，f（2）＞0，即2b＞0，（a+2b+1）＜0，（2a+2b+4）＞0
所以，在同一直角aOb坐標系里，畫出直線
b=0，a+2b+1=0，a+b+2=0
記b=0和a+2b+1=0的交點為A，a+2b+1=0和a+b+2=0的交點為Q，
b=0和a+b+2=0的交點為B
那么，A（-1，0），Q（-3，1），B（-2，0）
我們知道，b＞0，a+2b+1＜0，a+b+2＞0，就是三角形AQB．
a2+（b-4）2其實就是點P（0，4）到三角形區(qū)域的距離的平方
根據(jù)圖，我們知道，最小的距離是P垂直于AQ時的距離，這時候，最小距離d=；
最大距離是，PB=2，因為該三角形的邊線不符合不等式條件！
所以，a2+（b-4）2的范圍是（ ，20）
故答案為：（ ，20）．
點評：這是不等式與根的分布相結(jié)合的問題，主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關系、簡單線性規(guī)劃的應用，是難題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=a•lnx+b•x2在點（1，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若f（x）滿足f（x）≥g（x）恒成立，則稱f（x）是g（x）的一個“上界函數(shù)”，如果函數(shù)f(x)為g(x)=
t
x
-lnx（t為實數(shù)）的一個“上界函數(shù)”，求t的取值范圍；
（3）當m＞0時，討論F(x)=f(x)+
x2
2
-
m2+1
m
x在區(qū)間（0，2）上極值點的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理） 已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）在x=1處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若關于x的方程f（x）+2x=x2+b在[
12
，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-4x+3
（1）當x∈[-1，3]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若關于x的方程|f（x）|-a=0有三個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的值；
（3）已知t＞0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-x2-3x，g（x）=ax2-3x+b，（a，b∈R，且a≠0，b≠0）．滿足f（x）與g（x）的圖象在x=x0處有相同的切線l．
（I）若a=
1
2
，求切線l的方程；
（II）已知m＜x0＜n，記切線l的方程為：y=k（x），當x∈（m，n）且x≠x0時，總有[f（x）-k（x）]•[g（x）-k（x）]＞0，則稱f（x）與g（x）在區(qū)間（m，n）上“內(nèi)切”，若f（x）與g（x）在區(qū)間（-3，5）上“內(nèi)切”，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•虹口區(qū)二模）已知函數(shù)f （x）=
|x|x+2

（1）判斷f （x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（2）若關于x的方程f （x）=k有根在[2，3]內(nèi)，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）若關于x的方程f （x）=k x2有四個不同的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

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