Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝AD＝2，CD＝4，E為邊DC的中點，如圖1.將△ADE沿AE折起到△AEP位置，連PB、PC，點Q是棱AE的中點，點M在棱PC上，如圖2.

(1)若PA∥平面MQB，求PM∶MC；
(2)若平面AEP⊥平面ABCE，點M是PC的中點，求三棱錐A­MQB的體積．

Answer 1

（1）1∶2（2）

(1)連AC、BQ，設(shè)AC∩BQ＝F，連MF.
則平面PAC∩平面MQB＝MF，因為PA∥平面MQB，PA?平面PAC，所以PA∥MF.(2分)
在等腰梯形ABCD中，E為邊DC的中點，所以由題設(shè)，AB＝EC＝2.
所以四邊形ABCE為平行四邊形，則AE∥BC.(4分)
從而△AFQ∽△CFB，AF∶FC＝AQ∶CB＝1∶2.
又PA∥MF，所以△FMC∽△APC，所以PM∶MC＝AF∶FC＝1∶2.(7分)
(2)由(1)知，△AED是邊長為2的正三角形，從而PQ⊥AE.
因為平面AEP⊥平面ABCE，交線為AE，所以PQ⊥平面ABCE，PQ⊥QB，且PQ＝.
因為PQ?平面PQC，所以平面PQC⊥平面ABCE，交線為QC.(9分)
過點M作MN⊥QC于N，則MN⊥平面ABCE，所以MN是三棱錐M­ABQ的高．
因為PQ⊥平面ABCE，MN⊥平面ABCE，所以PQ∥MN.
因為點M是PC的中點，所以MN＝PQ＝.(11分)
由(1)知，△ABE為正三角形，且邊長為2.所以，S_△ABQ＝.
三棱錐A­MQB的體積V_A­MQB＝V_M­ABQ＝××＝.(14分)