Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c和“偽二次函數”g（x）=ax²+bx+clnx（abc≠0）．
（1）證明：只要a＜0，無論b取何值，函數g（x）在定義域內不可能總為增函數；
（2）在同一函數圖象上任意取不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點為C（x，y），記直線AB的斜率為k，
①對于二次函數f（x）=ax²+bx+c，求證：k=f′（x）；
②對于“偽二次函數”g（x）=ax²+bx+clnx，是否有①同樣的性質？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）用導函數大于0在定義域內恒成立，結合二次不等式恒成立知不可能，據導數大于0函數單增，得證．
（2）①據兩點斜率公式求k，再據中的坐標公式和導數公式得f′（x），得證．
（2）②先假設有得到一個關于t的等式，構造函數，研究函數單調性求最小值，得等式不成立，故假設不成立．
解答：解：（1）如果x＞0，g（x）為增函數，則
g′（x）=2ax+b+=恒成立．
∴2ax²+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函數的性質，（ii）不可能恒成立
則函數g（x）不可能總為增函數．
（2）①對于二次函數：
k==2ax+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x）=2ax+b
即k=f′（x）
（2）②
不妨設x₂＞x₁，對于偽二次函數g（x）=ax²+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
如果有①的性質，則g′（x）=k
∴
即∴，
令，t＞1，則
設s（t）=lnt-，則
∴s（t）在（1，+∞）上遞增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x）≠k∴“偽二次函數“g（x）=ax²+bx+clnx不具有①的性質．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的最值、兩點斜率、不等式恒成立問題、構造函數等．