Question

設橢圓C：的離心率為，右焦點到右準線的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過E（，0）作傾角為銳角的直線l交橢圓于A，B兩點，若，求l的方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C：的離心率為，右焦點到右準線的距離為3
∴，∴c=1，a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓C的方程為；
（2）設l：x=λy+（λ＞0），代入橢圓方程，消去x可得（3λ²+4）y²+9λy-=0
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則y₁+y₂=，y₁y₂=
∵，∴y₁=-3y₂，
∴=-（）²
∴
∵λ＞0，∴
∴l(xiāng)的方程為：．
分析：（1）利用橢圓C：的離心率為，右焦點到右準線的距離為3，建立方程組，求出幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（2）設l的方程代入橢圓方程，消去x可得一元二次方程，利用韋達定理及，即可求得l的方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程與幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．