Question

已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)為直線上的點(diǎn)，求直線的方程；
(Ⅲ) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動時，求的最小值．

Answer 1

(1)  (2)  (3)

解析試題分析： (1)利用點(diǎn)到直線的距離公式直接求解C的值，便可確定拋物線方程；（2）利用求導(dǎo)的思路確定拋物線的兩條切線，借助均過點(diǎn)P，得到直線方程；（3）通過直線與拋物線聯(lián)立，借助韋達(dá)定理將進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，通過參數(shù)的消減得到函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，然后利用二次函數(shù)求最值，需注意變量的范圍.
試題解析：（1）依題意，解得（負(fù)根舍去） （2分）
拋物線的方程為； （4分）
（2）設(shè)點(diǎn),，由,即得. 
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即.       （5分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ea/f/8efcb2.png" style="vertical-align:middle;" />在切線上且所以，
從而同理，，    （6分）
不妨取，所以，   （7分）
又，∴直線 的方程為              （8分）
（3）依據(jù)（2）由 得，                   （9分）
于是，                  （10分）
所以
又，所以， （11分）
從而                                        （12分）
考點(diǎn)：拋物線的方程、定義、切線方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系.