Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n和通項(xiàng)a_n滿足2S_n+a_n=1．?dāng)?shù)列{b_n}中，．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿足，是否存在正整數(shù)k，使得n≥k時(shí)c₁+c₂+…+c_n＞S_n恒成立？若存在，求k的最小值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：（1）由2S_n+a_n=1，得．
當(dāng)n≥2時(shí)，，
即（由題意可知a_n-1≠0）．
∴{a_n}是公比為的等比數(shù)列，
而，
∴．∴．（3分）
由，
得，
∴，
∴．（6分）
（2），
設(shè)T_n=c₁+c₂+…+c_n，則，①
②
（①-②）×，化簡(jiǎn)得．（10分）
而，（11分）
都隨n的增大而增大，
當(dāng)n≥2時(shí)，
∴T_n＞S_n，所以所求的正整數(shù)k存在，其最小值為2．（13分）
分析：（1）由2S_n+a_n=1，得．當(dāng)n≥2時(shí)，，所以．由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2），設(shè)T_n=c₁+c₂+…+c_n，則，再由錯(cuò)位相減能導(dǎo)出所求的正整數(shù)k存在，其最小值為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．