如圖,(1)若P是邊長為a的正三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn),試證明點(diǎn)P到各邊的距離之和為定值.

 (2)若P是棱長均為a的正四面體S—ABC內(nèi)任意一點(diǎn),試證明點(diǎn)P到各側(cè)面的距離之和為定值.

思路解析：(1)連結(jié)PA、PB、PC,將正三角形分割成三個(gè)小三角形,利用三角形面積不變即可求得點(diǎn)P到各邊的距離之和為定值.

(2)運(yùn)用“類比”法進(jìn)行求解.平面→空間：正三角形→正四面體；面積→體積；分割→分割；內(nèi)分小三角形→內(nèi)分小四面體；小三角形一邊長→四面體底面積.于是可將正四面體S—ABC分割成四個(gè)以點(diǎn)P為頂點(diǎn),四個(gè)面為底面的小三棱錐.利用正四面體的體積不變求得點(diǎn)P到各側(cè)面的距離之和為定值.

(1)證明：設(shè)P到各邊的距離分別為m、l、n,則有△ABC的面積等于三個(gè)小三角形△APC、△APB、△BPC的面積的和,列式即為

S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC=al+am+an=a(l+m+n)=a2,

得到l+m+n=a.

(2)解：設(shè)P到四面體各面的距離分別為m、l、n、h,則四面體SABC的體積等于四個(gè)小四面體P—ABC、P—SBC、P—SAC、P—SAB的體積之和,列式計(jì)算即為

VS—ABC=VP—ABC+VP—SBC+VP—SAC+VP—SAB=·a2·(l+m+n+h)=a3.

得到l+m+n+h=a.

方法歸納  用等積法求點(diǎn)到平面的距離的步驟：

(1)設(shè)距離為h，把h看成某三棱錐的高；

(2)把三棱錐的另一面看成底面，求出體積；

(3)由體積相等求出相應(yīng)的距離.


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如圖，已知四棱錐S-ABCD的底面是邊長為4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD內(nèi)，SO的長為3，O到AB，AD的距離分別為2和1，P是SC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面SOB⊥底面ABCD；
（Ⅱ）設(shè)Q是棱SA上的一點(diǎn)，若
AQ
=
3
4
AS
，求平面BPQ與底面ABCD所成的銳二面角余弦值的大�。�

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（2013•日照一模）如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，其中
AP
=λ
AB
+μ
AE
，下列判斷正確的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試、文科數(shù)學(xué)(上海卷) 題型：044

我們把由半橢圓(x≥0)與半橢圓(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”，其中a2＝b2＋c2，a＞0，b＞c＞0．

如圖，設(shè)點(diǎn)F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A1，A2和B1，B2是“果圓”與x，y軸的交點(diǎn)，M是線段A1A2的中點(diǎn)．

(1)若△F0F1F2是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

(2)設(shè)P是“果圓”的半橢圓(x≤0)上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)|PM|取得最小值時(shí)，P在點(diǎn)B1，B2或A1處；

(3)若P是“果圓”上任意一點(diǎn)，求|PM|取得最小值時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，點(diǎn)P在邊長為1的正方形的邊上運(yùn)動(dòng).設(shè)M是CD邊的中點(diǎn)，當(dāng)P沿A→B→C→M運(yùn)動(dòng)時(shí)，若點(diǎn)P經(jīng)過的路程為x，△APM的面積為y，則函數(shù)y=f(x)的圖象只可能是（    ）

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