Question

【題目】隨著創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略的不斷深入實(shí)施，高新技術(shù)企業(yè)在科技創(chuàng)新和經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的帶動(dòng)作用日益凸顯，某能源科學(xué)技術(shù)開(kāi)發(fā)中心擬投資開(kāi)發(fā)某新型能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得萬(wàn)元的投資收益，現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)議案：獎(jiǎng)金（單位：萬(wàn)元）隨投資收益（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，獎(jiǎng)金不超過(guò)萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的.（即：設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模擬為時(shí)，則公司對(duì)函數(shù)模型的基本要求是：當(dāng)時(shí)，①是增函數(shù)；②恒成立；③恒成立.）

（1）現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：（I）；（II）.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型是否符合公司要求？

（2）已知函數(shù)符合公司獎(jiǎng)勵(lì)方案函數(shù)模型要求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 函數(shù)（I）不符合公司要求；（II）模型符合公司要求；(2)

【解析】

(1)分別判斷兩個(gè)函數(shù)模型是否滿(mǎn)足三個(gè)條件即可.

(2)由題意得函數(shù)滿(mǎn)足三個(gè)條件，利用函數(shù)的單調(diào)性、均值不等式可求得的取值范圍.

（1）對(duì)于函數(shù)模型（I）：因?yàn)?/span>，即函數(shù)（I）不符合條件③，

所以函數(shù)模型（I）不符合公司要求.

對(duì)于函數(shù)模型（II）：當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

且，所以恒成立.

設(shè)，因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)時(shí)，.

所以恒成立.

所以函數(shù)模型（II）符合公司要求.

（2）因?yàn)?/span>，所以函數(shù)滿(mǎn)足條件①.

由函數(shù)滿(mǎn)足條件②得：，所以.

由函數(shù)滿(mǎn)足條件③得：對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立，因?yàn)?/span>，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.