設(shè)A1、A2為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在異于A1、A2的點(diǎn)P，使得
PO
•
PA2
=0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍是（　�。�
A、(0， 
1
2
)
B、(0， 
2
2
)
C、(
1
2
， 1)
D、(
2
2
， 1)
分析：由
PO
•
PA2
=0，可得 y2=ax-x2＞0，故  0＜x＜a，代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，，結(jié)合圖形，求出橢圓的離心率e的范圍．
解答：解：A1（-a，0），A2（a，0），設(shè)P（x，y），則
PO
=（-x，-y），
PA 2
=（a-x，-y），
∵
PO
•
PA2
=0，∴（a-x）（-x）+（-y）（-y）=0，y2=ax-x2＞0，∴0＜x＜a．
代入
x2
a2
+
y2
b2
=1，整理得（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0 在（0，a ）上有解，
令f（x）=（b2-a2）x2+a3x-a2b2=0，∵f（0）=-a2b2＜0，f（a）=0，如圖：
△=（a3）2-4×（b2-a2）×（-a2b2）=a2（ a4-4a2b2+4b4 ）=a2（a2-2c2）2≥0，
∴對(duì)稱軸滿足 0＜-
a3
2(b2-a2)
＜a，即 0＜
a3
2(a2-b2)
＜a，∴
a2
2c2
＜1，
c2
a2
＞
1
2
，又  0＜
c
a
＜1，∴
2
2
＜
c
a
＜1，故選 D．
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點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，一元二次方程在一個(gè)區(qū)間上有實(shí)數(shù)根的條件，
體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)M是橢圓上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA1、MA2的斜率分別為kMA1、kMA2，證明kMA1•kMA2為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2為長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，M為橢圓上異于A1、A2的點(diǎn)，kMA1、kMA2分別為直線MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得kMA1•kMA2=
 
（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•煙臺(tái)二模）已知可行域
y≥0
x-y+
2
≥0
x+y-
2
≤0
的外接圓C1與x軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C2以線段A1A2為長(zhǎng)軸，離心率e=
2
2

（1）求圓C1及橢圓C2的方程
（2）設(shè)橢圓C2的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C1上異于A1、A2的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=2于點(diǎn)Q，判斷直線PQ與圓C1的位置關(guān)系，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知可行域
y≥0
x-
3
y+2≥0
3
x+y-2
3
≤0
的外接圓C與x軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為長(zhǎng)軸，離心率e=
2
2
．
（1）求圓C及橢圓C1的方程；
（2）設(shè)橢圓C1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為圓C上異于A1、A2的動(dòng)點(diǎn)，過原點(diǎn)O作直線PF的垂線交直線x=2
2
于點(diǎn)Q，判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點(diǎn)（2，1），離心率為
2
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)P與F1，F(xiàn)2的距離之比為
1
3
，求直線x-
2
y+
3
=0被點(diǎn)P所在的曲線C2截得的弦長(zhǎng)；
（Ⅱ） 設(shè)A1，A2分別為橢圓C1的左、右頂點(diǎn)，Q為C1上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，直線A1Q交C1的右準(zhǔn)線于點(diǎn)M，直線A2Q交C1的右準(zhǔn)線于點(diǎn)N，求證MF2⊥NF2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)，離心率e=
3
3
，直線l：y=x+2與以原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)M是橢圓上異于A1、A2的任意一點(diǎn)，設(shè)直線MA1、MA2的斜率分別為KMA1、KMA2，證明KMA1•KMA2為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程
x2
a2
+
y2
b2
=1，A1、A2為長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，M為橢圓上異于A1、A2的點(diǎn)，KMA1、KMA2分別為直線MA1、MA2的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得KMA1•KMA2=
-
b
a
-
b
a
（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

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