【題目】已知f(x)=2x2﹣3x+1,g(x)=ksin(x﹣ )(k≠0).
(1)設f(x)的定義域為[0,3],值域為A; g(x)的定義域為[0,3],值域為B,且AB,求實數(shù)k的取值范圍.
(2)若方程f(sinx)+sinx﹣a=0在[0,2π)上恰有兩個解,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:當x∈[0,3]時,由于f(x)=2x2﹣3x+1圖象的對稱軸為 ,且開口向上,
可知 ,f(x)max=f(3)=10,
所以f(x)的值域 ;
當x∈[0,3]時, , ;所以當k>0時,g(x)的值域 ;
所以當k<0時,g(x)的值域 ;
又∵AB,所以 或 ;
即 k≥10或k≤﹣20;
(2)解:∵f(sinx)+sinx﹣a=0,所以2sin2x﹣2sinx+1﹣a=0在x∈[0,2π)上恰有兩個解,
設t=sinx,則t∈[﹣1,1],令h(t)=2t2﹣2t+1﹣a,
①當t∈(﹣1,1)時,由題意h(t)=0恰有一個解或者有兩個相等的解,
即h(﹣1)h(﹣1)<0或△=4﹣8(1﹣a)=0,即1<a<5或 ;
②若t=﹣1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一個根,此時a=5,且方程的另一個根為t=2,于是sinx=﹣1或sinx=2,
因此 ,不符合題意,故a=5(舍);
③若t=1是方程2t2﹣2t+1﹣a=0的一個根,此時a=1,且方程的另一個根為t=0,于是sinx=1或sinx=0,
因此x=0或 或π,不符合題意,故a=1(舍);
綜上,a的取值范圍是1<a<5或
【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),分別求出f(x)、g(x)在區(qū)間[0,3]上的最值即得值域A、B;再根據(jù)AB求出k的取值范圍;(2)根據(jù)f(sinx)+sinx﹣a=0在x∈[0,2π)上恰有兩個解,利用換元法設t=sinx,t∈[﹣1,1],構造函數(shù)h(t)=2t2﹣2t+1﹣a,討論t的取值范圍,從而求出實數(shù)a的取值范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“城市呼喚綠化”,發(fā)展園林綠化事業(yè)是促進國家經(jīng)濟法陣和城市建設事業(yè)的重要組成部分,某城市響應城市綠化的號召,計劃建一如圖所示的三角形ABC形狀的主題公園,其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC,長度為100 米,另外兩邊AB,AC使用某種新型材料圍成,已知∠BAC=120°,AB=x,AC=y(x,y單位均為米).
(1)求x,y滿足的關系式(指出x,y的取值范圍);
(2)在保證圍成的是三角形公園的情況下,如何設計能使所用的新型材料總長度最短?最短長度是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設點的坐標分別為,直線相交于點,且它們的斜率之積是.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)直線與曲線相交于兩點,若是否存在實數(shù),使得的面積為?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(2,﹣3), =(﹣5,4), =(1﹣λ,3λ+2).
(1)若△ABC為直角三角形,且∠B為直角,求實數(shù)λ的值;
(2)若點A、B、C能構成三角形,求實數(shù)λ應滿足的條件.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于點M、N兩點.
(1)求k的取值范圍;
(2)若 =12,其中O為坐標原點,求|MN|.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= + ,則下列命題中正確命題的序號是 .
①f(x)是偶函數(shù);
②f(x)的值域是[ ,2];
③當x∈[0, ]時,f(x)單調(diào)遞增;
④當且僅當x=2kπ± (k∈Z)時,f(x)= .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個四面體的三視圖,則該四面體的表面積為( )
A.8+8 +4
B.8+8 +2
C.2+2 +
D. + +
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (其中, ),且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合.
(1)求實數(shù), 的值;
(2)記函數(shù),是否存在最小的正常數(shù),使得當時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立?給出你的結論,并說明結論的合理性.
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