Question

【題目】某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，每袋葡萄糖的重量是一個(gè)隨機(jī)變量，它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器工作正常時(shí)，每袋葡萄糖平均重量為0.5kg，標(biāo)準(zhǔn)差為0.015kg.

（1）已知包裝每袋葡萄糖的成本為1元，若發(fā)現(xiàn)包裝好的葡萄糖重量異常，則需要將該袋葡萄糖進(jìn)行重新包裝，假設(shè)重新包裝后的葡萄糖重量正常.若某袋葡萄糖的重量滿足，則認(rèn)為該袋葡萄糖重量正常. 問(wèn)：在機(jī)器工作正常的情況下，至少包裝多少袋葡萄糖才能使“至少有一袋包裝好的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98?并求出相應(yīng)成本的最小期望值.

（2）某日開(kāi)工后， 為檢査該包裝機(jī)工作是否正常， 隨機(jī)地抽取它所包裝的葡萄糖9袋，若抽取的9袋葡萄糖稱得凈重(kg)為：0.496， 0.508， 0.524， 0.519， 0.495， 0.510， 0.522， 0.513， 0.512.用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，以作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中為樣本總數(shù)，服從正態(tài)分布，且.

①若機(jī)器工作正常時(shí)， 每袋葡萄糖的重量服從的正態(tài)分布曲線如下圖所示，且經(jīng)計(jì)算得上述樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差0.022.請(qǐng)?jiān)谙聢D（機(jī)器正常工作時(shí)的正態(tài)分布曲線）中，繪制出以該樣本作為估計(jì)得到的每袋葡萄糖所服從的正態(tài)分布曲線的草圖.

②若，就推斷該包裝機(jī)工作異常，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)，試以95%的可靠性估計(jì)該包裝機(jī)工作是否正常.

附： 若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布：，

參考數(shù)據(jù)：；

Answer 1

【答案】（1）至少包裝4袋葡萄糖，最小期望值為5.2696元；（2）①作圖見(jiàn)解析；②在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為該包裝機(jī)工作異常，應(yīng)該進(jìn)行調(diào)試.

【解析】

（1）每袋葡萄糖的重量服從正態(tài)分布，先根據(jù)題意求出1次包裝葡萄糖重量正常的概率，則為次獨(dú)立重復(fù)包裝葡萄糖重量正常的袋數(shù)服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出能使“至少有一袋包裝的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98的包裝次數(shù)，此時(shí)相應(yīng)的成本為，由期望公式，求出相應(yīng)成本的最小期望值；

（2）①根據(jù)給出的數(shù)據(jù)求出，則，0.022，注意在的右側(cè)，且峰值略低于原圖像峰值，作出圖象;

②根據(jù)所給的， ，，由公式，結(jié)合，下結(jié)論.

解：（1）由題意可知，機(jī)器工作正常的情況下毎袋葡萄糖的重量服從正態(tài)分布

,設(shè)為次獨(dú)立重復(fù)包裝葡萄糖重量正常的袋數(shù).

由，知服從二項(xiàng)分布 .

于是

即 解得：

故需至少包裝4袋葡萄糖，才能使“至少有一袋包裝的葡萄糖重量正常”的概率大于0.98.

而

故相應(yīng)成本

，

所以相應(yīng)成本的最小期望值為5.2696元.

（2）①如圖所示，經(jīng)計(jì)算得

，（繪圖時(shí)只需保證在的右側(cè)，且峰值略低于原圖像峰值）

②易得， ，，

所以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為該包裝機(jī)工作異常，應(yīng)該進(jìn)行調(diào)試.