Question

已知圓C：x²+y²=4．
（1）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若|AB|=2

3

，求直線l的方程；
（2）過圓C上一動點M作平行于y軸的直線m，設m與x軸的交點為N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求動點Q的軌跡方程．
（3）若點R（1，0），在（2）的條件下，求|

RQ

|的最小值．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況考慮：①直線l垂直于x軸時，可得出直線l為x=1，此時直線l與圓C的兩交點距離為2

3

，滿足題意；②當直線l不垂直x軸時，設直線l的斜率為k，由P及斜率k表示出直線l的方程，設圓心到直線的距離為d，由已知截取的弦長，根據(jù)垂徑定理及勾股定理列出關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由d的值列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出此時直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線方程；
（2）設出M及Q的坐標，根據(jù)題意表示出N的坐標，利用平面向量的數(shù)量積運算法則化簡已知的等式，用x與y分別表示出x₀及y₀，將表示出的x₀及y₀代入圓C的方程，得到x與y的關(guān)系式，再根據(jù)由已知，直線m∥y軸，得到x≠0，即可得出Q的軌跡方程；
（3）由Q及R的坐標，表示出

RQ

，利用平面向量模的計算法則表示出|

RQ

|²，由圓C的方程表示出y²，將y²代入表示出的|

RQ

|²中，得到關(guān)于x的二次三項式，配方后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出|

RQ

|²的最小值，開方即可得出|

RQ

|的最小值，以及此時x的值．

解答：解：（1）分兩種情況考慮：
①當直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x=1，
則l與圓的兩個交點坐標為（1，

3

）和（1，-

3

），其距離為2

3

，滿足題意；（1分）
②若直線l不垂直于x軸，設其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，（2分）
設圓心到此直線的距離為d，
則2

3

=2

4-d2

，解得：d=1，
∴1=

|-k-2|

k2+1

，解得：k=

3

4

，
故所求直線方程為3x-4y+5=0，
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1；（5分）
（2）設點M的坐標為（x₀，y₀），Q點坐標為（x，y），
則N點坐標是（x₀，0），
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（2x₀，y₀），即x₀=

x

2

，y₀=y，
又∵x₀²+y₀²=4，∴

x2

4

+y²=4，（8分）
由已知，直線m∥y軸，得到x≠0，
∴Q點的軌跡方程是

x2

4

+y²=4（x≠0）；（9分）
（3）設Q坐標為（x，y），R（1，0），
∴

RQ

=（x-1，y），
∴|

RQ

|²=（x-1）²+y²，（10分）
又

x2

4

+y²=4（x≠0），
∴|

RQ

|²=（x-1）²+y²=（x-1）²+4-

x2

4

=

3(x- 4 3 )2+ 44 3

4

≥

11

3

，（12分）
∵x∈[-4，0）∪（0，4]，
∴x=

4

3

時，|

RQ

|取到最小值

33

3

．（13分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，直線的點斜式方程，動點的軌跡方程，平面向量的數(shù)量積運算法則，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的思想，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．