Question

若不等式（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

1≤m＜19

．

Answer 1

分析：此題要分兩種情況：①當m²+4m-5=0時，解出m的值，進行驗證；②當m²+4m-5=0時，根據二次函數(shù)的性質，要求二次函數(shù)的開口向上，與x軸無交點，即△＜0，綜合①②兩種情況求出實數(shù)m的范圍．

解答：解：①當m²+4m-5=0時，得m=1或m=-5，
∵m=1時，原式可化為3＞0，恒成立，符合題意
當m=-5時，原式可化為：24x+3＞0，對一切實數(shù)x不恒成立，故舍去；
∴m=1；
②m²+4m-5≠0時即m≠1，且m≠-5，
∵（m²+4m-5）x²-4（m-1）x+3＞0對一切實數(shù)x恒成立
∴有

m2+4m-5＞0 △=16(m-1)2-12(m2+4m-5)＜0

解得1＜m＜19
綜上得 1≤m＜19
故答案為1≤m＜19．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的基本性質，以及分類討論的思想，此題易錯點為討論m²+4m-5與0的關系，如果等于0，就不是二次函數(shù)了；