精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其左右焦點分別為F1、F2，A、B分別為橢圓的上、下頂點，如果四邊形AF1BF2為邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點為M，N，過點M作x軸的垂線l，在l上任取一點P，連接PN交橢圓C于Q，探究
OP
•
OQ
是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．
分析：（1）四邊形AF1BF2是邊長為2的正方形，求得a和b，則橢圓的方程可得．
（2）設(shè)直線PN：y=k（x-a），則P點坐標(biāo)可知，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得a•xQ的表達(dá)式，進(jìn)而求得xQ的表達(dá)式，代入直線方程求得yQ的表達(dá)式，表示出
OP
•
OQ
，結(jié)果為定值．
解答：解：（Ⅰ）∵四邊形AF1BF2是邊長為2的正方形，
∴a=2，b=c=
2

∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1
（Ⅱ）設(shè)直線PN：y=k（x-a），
∴P（-a，-2ka）
∵
y=k(x-a)
x2+2y2=4
?(1+2k2)x2-4k2ax+2k2a2-4=0
∴a•xQ=
2k2a2-4
1+2k2
?xQ=
2k2a2-4
(1+2k2)a
yQ=k(
2k2a2-4
(1+2k2)a
-a)=
-(a2+4)k
a(1+2k2)

∴
OP
•
OQ
=xPxQ+yPyQ=
4-2k2a2
1+2k2
+
2k2(4+a2)
1+2k2
=4定值．
點評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，向量的基本計算，直線與橢圓的關(guān)系等．考查了學(xué)生綜合分析問題的能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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