Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且滿足，若數(shù)列滿足，且等式對(duì)任意成立．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）將數(shù)列與的項(xiàng)相間排列構(gòu)成新數(shù)列，設(shè)該新數(shù)列為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)的和；

（3）對(duì)于（2）中的數(shù)列前項(xiàng)和，若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）．

【解析】

（1）由4Sn＝（an+1）2，n＝1時(shí)，4a1，解得a1，n≥2時(shí)，4an＝4（Sn﹣Sn﹣1），化為：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，根據(jù)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，可得an﹣an﹣1＝2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an．

（2）數(shù)列{bn}滿足b1＝2，b2＝4，且等式bn2＝bn﹣1bn+1對(duì)任意n≥2成立．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn．進(jìn)而得出cn，T2n．

（3）Tn≥λcn，即n2+2n+1﹣2≥λcn，對(duì)n分類討論即可得出．

（1）由，即，所以，

兩式相減得，，

故，

因?yàn)?/span>，所以．

又由得．

所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．

所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（2）由題意，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故．

所以，

數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和．

所以，．

（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)（），由（2）知，，，

由，得，

即，

設(shè)，則，

所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．

因?yàn)?/span>，當(dāng)時(shí)，，所以，．

所以，．

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)（），則，

，

由，得，即，

設(shè)，則

，故單調(diào)遞增，，故．

綜上，的取值范圍是．