Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（2）設(shè)函數(shù)，若在上存在極值，求的取值范圍，并判斷極值的正負(fù).

Answer 1

【答案】（1）;（2）見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（１）先分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；（２）借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，運(yùn)用分類整合思想進(jìn)行分析求解：

（1）由，得，即在上恒成立.

設(shè)函數(shù)， .則.

設(shè).則.易知當(dāng)時(shí)， .

∴在上單調(diào)遞增，且.即對(duì)恒成立.

∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)， .

∴，即的取值范圍是.

（2）， ，∴.

設(shè)，則.由，得.

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， . ∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.且， ， .顯然.

結(jié)合函數(shù)圖像可知，若在上存在極值，則或.

（ⅰ）當(dāng)，即時(shí)，

則必定，使得，且.

當(dāng)變化時(shí)， ， ， 的變化情況如下表：

		極小值		極大值

∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值為，且.

∵.

設(shè)，其中， .

∵，∴在上單調(diào)遞增， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

∵，∴.∴當(dāng)時(shí)， 在上的極值.

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，則必定，使得.

易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.此時(shí)， 在上的極大值是，且.

∴當(dāng)時(shí)， 在上極值為正數(shù).綜上所述：當(dāng)時(shí)， 在上存在極值.且極值都為正數(shù).

注：也可由，得.令后再研究在上的極值問(wèn)題.