Question

若數(shù)列滿足條件：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切都成立，則稱數(shù)列為級(jí)等差數(shù)列．
（1）已知數(shù)列為2級(jí)等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為，求的值；
（2）若為常數(shù)），且是級(jí)等差數(shù)列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時(shí)數(shù)列的前3項(xiàng)和；
（3）若既是級(jí)等差數(shù)列，也是級(jí)等差數(shù)列，證明：是等差數(shù)列．

Answer 1

（1）19，（2），（3）詳見解析.

試題分析：（1）解新定義數(shù)列問題，關(guān)鍵從定義出發(fā)，建立等量關(guān)系.，（2）本題化簡是關(guān)鍵.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051847313456.png" style="vertical-align:middle;" />是級(jí)等差比數(shù)列，所以，

，所以， 或
，最小正值等于，此時(shí)
，（3）充分性就是驗(yàn)證，易證，關(guān)鍵在于證必要性，可從兩者中在交集（共同元素）出發(fā). ,成等差數(shù)列, 因此既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，可得它們公差的關(guān)系，進(jìn)而推出三者結(jié)構(gòu)統(tǒng)一，得出等差數(shù)列的結(jié)論.
（1）   （2分）

   （4分）
（2）是級(jí)等差數(shù)列，
（） （1分）（）
所以， 或
對(duì)恒成立時(shí)，
時(shí)，
   （3分）
最小正值等于，此時(shí)
由于（）
（）   （5分）

（）   （6分）
（3）若為級(jí)等差數(shù)列，，則均成等差數(shù)列，（1分）
設(shè)等差數(shù)列的公差分別為
為級(jí)等差數(shù)列，，則成等差數(shù)列，設(shè)公差為
既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，   （3分）
既是中的項(xiàng)，也是中的項(xiàng)，
   （5分）
設(shè)，則
所以（），
，（）
又，，所以，   （7分）
（）
綜合得：，顯然為等差數(shù)列。   （8分）