Question

已知拋物線、橢圓和雙曲線都經過點M（1，2），它們在x軸上有共同焦點，橢圓和雙曲線的對稱軸是坐標軸，拋物線的頂點為坐標原點．
（1）求這三條曲線的方程；
（2）對于拋物線上任意一點Q，點P（a，0）都滿足|PQ|≥|a|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意求出平行方程，得到橢圓與雙曲線的焦點坐標，求出橢圓與雙曲線中a，b，然后求橢圓與雙曲線的方程；
（2）設出拋物線上任意一點Q的坐標，點P（a，0）求出|PQ|，利用|PQ|≥|a|恒成立，求a的取值范圍．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
將M（1，2）代入方程得p=2
∴拋物線方程為：y²=4x
由題意知橢圓、雙曲線的焦點為F（-1，0）₁，F₂（1，0），
∴c=1
對于橢圓，2a=|MF1|+|MF2|=

(1+1)2+22

+

(1-1)2+4

=2+2

2

∴a=1+

2

⇒a2=3+2

2

，b2=a2-c2=2+2

2

所以橢圓方程為

x2

3+2 2

+

y2

2+2 2

=1
對于雙曲線，2a′=||MF1|-|MF2||=2

2

-2
∴a/=

2

-1⇒a/2=3-2

2

，b/2=c/2-a/2=2

2

-2
所以雙曲線方程為

x2

3-2 2

+

y2

2 2 -2

=1
（2）設Q(

t2

4

，t)
由|PQ|≥|a|得(

t2

4

-a)2+t2≥a2，t2(t2+16-8a)≥0，
t²+16-8a≥0，t²≥8a-16恒成立
則8a-16≤0，a≤2
∴a∈（-∞，2]

點評：本題考查圓錐曲線的共同特征，三種曲線的求法，兩點間的距離公式的應用，考查學生分析問題與解決問題的能力，考查轉化思想．