Question

（09年海淀區(qū)期末理）（14分）

  如果正數(shù)數(shù)列滿足：對(duì)任意的正數(shù)M，都存在正整數(shù)則稱數(shù)列是一個(gè)無界正數(shù)列。

（I）若分別判斷數(shù)列、是否為無界正數(shù)列，并說明理由；

（II）若成立。

（III）若數(shù)列是單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，求證：存在正整數(shù)m，使得

       

Answer 1

解析：（I）不是無界正數(shù)列，理由如下：…………1分

       取M=5，顯然…………2分

       是無界正數(shù)列，理由如下：…………3分

       對(duì)任意的正數(shù)M，取

       所以是無界正數(shù)列…………4分，

   （II）存在滿足題意的正整數(shù)k，理由如下：

       當(dāng)時(shí)，

       因?yàn)?IMG height=51 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090510/20090510142610006.gif' width=397>

      

       讀取成立�！�………9分

       注：k取大于或等于3的整數(shù)即可。

   （III）證明：因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的正數(shù)列，

       所以

      

       即

       因?yàn)?IMG height=24 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090510/20090510142610001.gif' width=32>是無界正數(shù)列，取，由定義知存在正整數(shù)

       所以

       由定義可知是無窮數(shù)列，考察數(shù)列顯然這仍是一個(gè)單調(diào)遞增的無界正數(shù)列，同上理由可知存在正整數(shù)，使得

   

重復(fù)上述操作，直到確定相應(yīng)的正整數(shù)

       則

      

       即存在正整數(shù)成立。……14分

       說 明：其他正確解法按相應(yīng)步驟給分。