Question

已知實(shí)數(shù)a，b，c∈R，函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx滿足f（1）=0，設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求的取值范圍；
（2）設(shè)a為常數(shù)，且a＞0，已知函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求證：直線AB的斜率．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c²＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴＞0，
所以0＜1．
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，則，x₁x₂=，
∴k==
=
=a（）+b（x₂+x₁）+c
=a[]+b（x₂+x₁）+c
=a（-）+b（-）+c
=a[（-）+（-）+]
=（-+），
令t=，由b=-（a+c）得，=-1-t，t∈（0，1），
則k=[-（1+t）²+3t]=（-t²+t-1），
∵a＞0，-t²+t-1∈（-1，-]，∴k∈（-，-]．
分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=-（a+c），求導(dǎo)數(shù)f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示為關(guān)于a，c的不等式，進(jìn)而化為關(guān)于的二次不等式即可求得的取值范圍；
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，則，x₁x₂=，把韋達(dá)定理代入k=可得關(guān)于a，b，c的表達(dá)式，令t=，k可化為關(guān)于t的二次函數(shù)式，借助（1）問t的范圍即可求得k的范圍；
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及直線斜率，考查轉(zhuǎn)化思想，解決（2）問關(guān)鍵是通過換元轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，從而可利用二次函數(shù)性質(zhì)解決．