Question

已知函數(shù)y=f（x）對任意的實數(shù)都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（Ⅰ）記a_n=f（n）（n∈N*），S_n=

n

i=1

ai，設bn=

2Sn

an

+1，且{b_n}為等比數(shù)列，求a₁的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設c_n=

(n+anbn)2+7-2n

n

，問：是否存在最大的整數(shù)m，使得對于任意n∈N*，均有c_n＞

m

3

？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關系，確定出數(shù)列{a_n}的通項公式即函數(shù)的解析式，利用數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}的關系，根據(jù)數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，尋找其前3項滿足的關系式，通過求解方程求出a₁的值；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中確定的數(shù)列{a_n}的通項公式，求出其前n項和表達式，進而確定出數(shù)列{b_n}的通項公式，算出c_n的表達式．利用c_n的單調性確定出其最小值，進而確定出合題意的m．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x+y）=f（x）•f（y）對于任意的x∈R均成立，
∴f（n+1）=f（n）•f（1），即a_n+1=a_n•a₁．
∴f（1）≠0，∴a₁≠0，∴a_n≠0（n∈N*），
∴{a_n}是以a₁為首項，a₁為公比的等比數(shù)列，∴a_n=a₁ⁿ．
當a₁=1時，a_n=1，S_n=n，此時b_n=2n+1，{b_n}不是等比數(shù)列，
∴a₁≠1．又{a_n}成等比數(shù)列，{b_n}成等比數(shù)列，∴b₂²=b₁b₃．
∵b₁=

2S1

a1

+1=3，b2=

2(a1+a2)

a2

+1=

2(a1+ a 2 1 )

a 2 1

+1=

3a1+2

a1

，b₃=

2(a1+ a 2 1 + a 3 1 )

a 3 1

+1=

3 a 3 1 +2a1+2

a 2 1

，∴(

3a1+2

2

)2=

9 a 2 1 +6a1+6

a 2 1

，解得a₁=

1

3

．

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，a_n=

1

3n

，Sn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)，
b_n=

2Sn

an

+1，∴a_nb_n=2S_n+a_n=1-

1

3n

+

1

3n

=1．∴c_n=

(n+1)2+7-2n

n

=n+

8

n

．
由c_n+1-c_n=1-

8

n(n+1)

＞0，得n（n+1）＞8．
∵n∈N*，∴n≥3．
∵c₁=9，c₂=6，c₃=

17

3

＜16，且當n≥4時，均有c_n＞c₃=

17

3

，
∴存在這樣的m=16，能使對所有的∵n∈N*，有c_n＞

m

3

成立．

點評：本題是數(shù)列與函數(shù)的綜合問題，考查學生分析問題與解決問題的能力，考查學生的轉化與化歸能力．考查學生對抽象函數(shù)求值問題的理解和認識、等比數(shù)列有關知識的理解和認識．考查學生的函數(shù)思想研究數(shù)列問題的能力．