Question

已知函數(shù)，點(diǎn)、在函數(shù)的圖象上，

點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，設(shè)．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；

（3）已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）；

（3）當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí)，;

當(dāng)時(shí)，.

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)點(diǎn)、代入中，點(diǎn)代入函數(shù)中，可得，然后利用疊加的方法求的；（2）由和可得，然后利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可；（3）由得，由可得 ，即，求出

，即，所以最后分類討論比較與的大小即可.

試題解析：（1）由題有： 

3分

（2），

                                                 8分

（3），，

由知

， 而，所以可得．

于是

．

當(dāng)時(shí) ；

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

下面證明：當(dāng)時(shí)，

證法一：（利用組合恒等式放縮）

當(dāng)時(shí)，

 

∴當(dāng)時(shí)，   13分

證法二：（數(shù)學(xué)歸納法）證明略

證法三：（函數(shù)法）∵時(shí)，

構(gòu)造函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，

∴在區(qū)間是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，

∴在區(qū)間是減函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，

從而時(shí)，，即∴當(dāng)時(shí)，

考點(diǎn)：1.點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系；2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和；3.不等式的證明.