Question

已知曲線C：y=x³及其上一點P₁（1，1），過P₁作C的切線l₁，l₁與C的另一公共點為P₂（不同于P₁），過P₂作C的切線l₂，l₂與C的另一公共點為P₃（不同于P₂），…，得到C的一列切線l₁，l₂，…，l_n，…，相應(yīng)的切點分別為P₁，P₂，…，P_n，…．
（1）求P_n的坐標；
（2）設(shè)l_n到l_n+1的角為θ_n，求

lim

n→∞

tanθn之值．

Answer 1

分析：（1）欲求求P_n的坐標，關(guān)鍵是求在點P_n處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=P_n處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）欲求

lim

n→∞

tanθn之值，先利用到角公式將tanθ_n表示出來，最后對分式的分子分母同除以同一個式子即可求得極限值．

解答：解：（1）設(shè)P_n（a_n，a_n³），過P_n作C的切線．
C在P_n處的切線l_n的方程為：y=3a_n²（x-a_n）+a_n³，代入y=x³，
并整理得（x-a_n）²（x+2a_n）=0．
即x=a_n（舍去）或x=-2a_n．
由題意a₁=1，a_n+1=-2a，從而a_n=（-2）^n-1，（n∈N*）
即P_n（（-2）^n-1，（-2）^3（n-1））；
（2）l_n的斜率k_n=3a_n²=3•（-2）^2（n-1）=3•4^n-1．
l_n+1的斜率k_n+1=3•4ⁿ．
tanθn=

kn+1-kn

1+kn+1•kn

=

3•4n-3•4n-1

1+32•4n•4n-1

．

lim

n→∞

tanθn=

lim

n→∞

3 4n - 3 4 • 1 4n

1 42n + 9 4

=0．

點評：本小題主要考查數(shù)列的極限、直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．