【題目】已知橢圓 的離心率為 ,且過點(diǎn) .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上,且對角線AC、BD過原點(diǎn)O,若 . (i) 求 的最值;
(ii) 求四邊形ABCD的面積.
【答案】
(1)解:由題意 , ,又a2=b2+c2,
解得:a2=8,b2=4,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)解:設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,再設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立 ,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣8=0.
△=(4m)2﹣4(1+2k2)(2m2﹣8)=8(8k2﹣m2+4)>0…①
,
∵ ,∴ ,
∴ ,
= ,
∴ ,得4k2+2=m2.
(i) = .
∴﹣2=2﹣4 .
當(dāng)k=0(此時(shí)m2=2滿足①式),即直線AB平行于x軸時(shí), 的
最小值為﹣2.
又直線AB的斜率不存在時(shí), ,
∴ 的最大值為2;
(ii)設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d,則
=
= .
∴
【解析】(1)與已知列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組可得a,b的值,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求;(2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由 可得k與m的關(guān)系.(i)由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算把 化為含有k的代數(shù)式求得最值;(ii)首先求出△AOB的面積,乘以4即可求得四邊形ABCD的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊長,且acosB﹣bcosA= c.
(1)求 的值;
(2)若A=60°,求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是( )
A.1, , , ,…
B.﹣1,﹣2,﹣3,﹣4,…
C.﹣1,﹣ ,﹣ ,﹣ ,…
D.1, , ,…,
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【題目】如圖,正方形BCDE的邊長為a,已知AB= BC,將△ABE沿邊BE折起,折起后A點(diǎn)在平面BCDE上的射影為D點(diǎn),則翻折后的幾何體中有如下描述:
① AB與DE所成角的正切值是 ;
②AB∥CE
③VB﹣ACE體積是 a3;
④平面ABC⊥平面ADC.
其中正確的有 . (填寫你認(rèn)為正確的序號)
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【題目】如圖,在四棱錐E﹣ABCD中,AE⊥DE,CD⊥平面ADE,AB⊥平面ADE,CD=DA=6,AB=2,DE=3.
(1)求棱錐C﹣ADE的體積;
(2)在線段DE上是否存在一點(diǎn)P,使AF∥平面BCE?若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2 x.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當(dāng) 時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,∠ACB=45°,BC=2 ,AB=2.
(1)求AC的長;
(2)若PC= ,點(diǎn)M在側(cè)棱PB上,且 = ,當(dāng)λ為何值時(shí),二面角B﹣AC﹣M的大小為30°.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且asinAsinB+bcos2A= a.
(1)求 ;
(2)若c2=a2+ b2 , 求角C.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}中,已知對任意n∈N* , a1+a2+a3+…+an=3n﹣1,則a12+a22+a32+…+an2等于( )
A.(3n﹣1)2
B.
C.9n﹣1
D.
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