Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0 ， 且x0＞0，則a的取值范圍為（ ）
A.（﹣∞，﹣2）
B.（﹣∞，0）
C.（2，+∞）
D.（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=± ，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去；

當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＞0，列表如下：

x	（﹣∞，0）	0	（0， ）		（ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，

不符合條件：f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，應(yīng)舍去．

當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣ ）=0，解得x=0或x= ＜0，列表如下：

x	（﹣∞， ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

而f（0）=1＞0，x→+∞時(shí)，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，

∵f（x）存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0＞0，∴極小值f（ ）=a（ ）3﹣3（ ）2+1＞0，

化為a2＞4，

∵a＜0，∴a＜﹣2．

綜上可知：a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）．

故選：A．