Question

橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)F₁與拋物線(xiàn)y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過(guò)F₁的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，

|CD|

|AB|

=2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)₁，并且與橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程；
（Ⅲ）求

F2A

•

F2B

的最值．

Answer 1

（Ⅰ）∵橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)F₁與拋物線(xiàn)y²=-4x的焦點(diǎn)重合，∴c=1
∵過(guò)F₁的直線(xiàn)l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線(xiàn)交于C，D兩點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，∴AB為橢圓通徑，CD為拋物線(xiàn)通經(jīng)，
∵

|CD|

|AB|

=2

2

，∴

4

2b2 a

=2

2

，b²=

2

2

a，∵a²=b²+c²，得a=

2

，b=1，∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）∵所求圓過(guò)點(diǎn)O，F(xiàn)₁，可設(shè)坐標(biāo)為（-

1

2

，n），∵圓與橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)相切，∴半徑r=-

1

2

-（-2）=

3

2

∴

(- 1 2 )2+n2

=

3

2

，n=

2

，∴所求圓方程為(x+

1

2

)2+(y-

2

)2=

9

4

．
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，得，

x2

2

+k2(x+1)2=1
∴x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，x₁+x2=

-4k2

1+2k2

..

F2A

•

F2B

=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=

7k2-1

1+2k2

=

7

2

--

9 2

1+2k2

∵k²∈[0，+∞），∴

F2A

•

F2B

∈[-1，

7

2

）
②當(dāng)直線(xiàn)l斜率不存在時(shí)，可得�。�-1，

2

2

）B（-1，-

2

2

），此時(shí)，

F2A

•

F2B

=

7

2

．
綜上，

F2A

•

F2B

∈[1，

7

2

]．∴

F2A

•

F2B

最大值為

7

2

，最小值為-1．