Question

(本小題滿分12分) 已知兩點(diǎn)和分別在直線和上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足： (為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)的軌跡記為曲線． (Ⅰ)求曲線的方程，并討論曲線的類型； (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，若對(duì)于任意，都有為銳角，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示圓．    (Ⅱ)   

解析:

（I）由，得是的中點(diǎn). …………………2分

設(shè)依題意得:

消去，整理得．…………………4分

當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；

當(dāng)時(shí)，方程表示圓．……………5分

（II）由，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，直線與曲線恒有兩交點(diǎn)，

因?yàn)橹本�斜率不存在時(shí)不符合題意,

可設(shè)直線的方程為，直線與橢圓的交點(diǎn)為.

…………………7分

  

要使為銳角，則有…………………9分

即，

可得，對(duì)于任意恒成立.而，

所以滿足條件的的取值范圍是.…………………12分