【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)F1 , F2其離心率為e= ,點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△PF1F2內(nèi)切圓面積的最大值為 .
(1)求a,b的值
(2)若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn),且滿足 , =0,求| |+| |的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r,
由△PF1F2的面積為S= r(PF1+PF2+F1F2)= r(2a+2c),
S最大,則r最大,
當(dāng)P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí),△PF1F2的面積最大,其內(nèi)切圓面積取得最大值,
∵ ,∴ .
= =bc= r= ,化為 ,
又 ,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=4,c=2,b=2
(2)解:∵滿足 =0,
∴直線AC,BD垂直相交于點(diǎn)F1,
由(1)橢圓方程 ,F(xiàn)1(﹣2,0).
①直線AC,BD有一條斜率不存在時(shí),| |+| |=6+8=14.
②當(dāng)AC斜率存在且不為0時(shí),設(shè)方程y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),
聯(lián)立 ,化為(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣48=0.
∴x1+x2= ,x1x2= ,
∴ = = ,
把﹣ 代入上述可得:可得| |= ,
∴| |+| |= ,
設(shè)t=k2+1(k≠0),t>1.
∴| |+| |= ,∵t>1,∴ ,
∴| |+| |∈ .
綜上可得:| |+| |的取值范圍是
【解析】(1)當(dāng)P為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí),△PF1F2內(nèi)切圓面積取得最大值,設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r,利用 = =bc= r,化為 ,又 ,a2=b2+c2 , 聯(lián)立解得a,c,b即可得出.(2)由滿足 , =0,可得直線AC,BD垂直相交于點(diǎn)F1 , 由(1)橢圓方程 ,F(xiàn)1(﹣2,0).①直線AC,BD有一條斜率不存在時(shí),| |+| |=14.②當(dāng)AC斜率存在且不為0時(shí),設(shè)方程y=k(x+2),A(x1 , y1),C(x2 , y2),與橢圓方程聯(lián)立化為(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣48=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系可得: = = ,把﹣ 代入上述可得:可得| |= ,可得| |+| |= ,設(shè)t=k2+1(k≠0),t>1.即可得出.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),若,且對(duì)任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若定義域?yàn)?/span>的函數(shù)同時(shí)滿足以下三條:
(ⅰ)對(duì)任意的總有(ⅱ)
(ⅲ)若則有就稱(chēng)為“A函數(shù)”,下列定義在的函數(shù)中為“A函數(shù)”的有_______________
①;②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=a﹣(a∈R)
(1)如果函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)證明:對(duì)任意的實(shí)數(shù)a,函數(shù)f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某人租用一塊土地種植一種瓜類(lèi)作物,租期5年,根據(jù)以往的年產(chǎn)量數(shù)據(jù),得到年產(chǎn)量頻率分布直方圖如圖所示,以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量,得到平均年產(chǎn)量為455kg.當(dāng)年產(chǎn)量低于450kg時(shí),單位售價(jià)為12元/kg,當(dāng)年產(chǎn)量不低于450kg時(shí),單位售價(jià)為10元/kg.
(1)求圖中a的值;
(2)以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量,并以年產(chǎn)量落入該區(qū)間的頻率作為年產(chǎn)量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率,求年銷(xiāo)售額X(單位:元)的分布列;
(3)求在租期5年中,至少有2年的年銷(xiāo)售額不低于5000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】要制作一個(gè)容積為8m3 , 高為2m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器,若容器的底面造價(jià)是每平方米200元,側(cè)面造型是每平方米100元,則該容器的最低總造價(jià)為( )
A.1200元
B.2400元
C.3600元
D.3800元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)且點(diǎn)(4,2)在函數(shù)f(x)的圖象上.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式,并在圖中的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象;
(2)求不等式f(x)<1的解集;
(3)若方程f(x)-2m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)
(1)若f(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為4、最小值為1,求a,b的值;
(2)若a=1,b=1,關(guān)于x的方程f(|2x﹣1|)+k(4﹣3|2x﹣1|)=0,有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在△ABC中,已知AB=15,BC=14,CA=13.將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個(gè)如圖②所示的四面體A﹣BCD,使得圖②中的BC=11.
(1)求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值;
(2)在四面體A﹣BCD的棱AD上是否存在點(diǎn)P,使得 =0?若存在,請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置;若不存在,請(qǐng)給出證明.
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