【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,且過(guò)點(diǎn)

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若的頂點(diǎn)、在橢圓上, 所在的直線斜率為, 所在的直線斜率為,若,求的最大值.

【答案】(1);(2)2.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)橢圓長(zhǎng)軸與短軸的關(guān)系列出一個(gè)方程,再根據(jù)橢圓過(guò)已知點(diǎn)列出一個(gè)方程,解方程組求出a,b,寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)由于OAOB的斜率乘積為定值,因此OA的斜率為,則OB的斜率可表示為,分別把射線OA、OB的方程與橢圓的方程聯(lián)立,求出A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),得出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積,根據(jù)OAOB方程得出A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的積,從表示出數(shù)量積,再利用基本不等式求出最值.

試題解析:

(1)由題意得解得

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè) ,不妨設(shè),

,∴),

直線、的方程分別為,

聯(lián)立

解得,

,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.

所以的最大值為2.

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A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè) D. 3個(gè)

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A. B. C. D.

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A. B. C. 2 D.

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